Математическое ожидание случайной величины — урок. Вероятность и статистика, 9 класс.

Математическое ожидание играет важную роль в области математической статистики и теории вероятностей. Оно представляет собой среднее значение случайной величины и помогает предсказать, какие значения можно ожидать в будущем. Математическое ожидание находит применение во многих сферах — от физики и экономики до компьютерных наук и биологии.

Предположим, у нас есть случайная величина $X$. Её математическое ожидание можно обозначить как $E(X)$ или $EX$.

Пусть распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

Значение величины $X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$...$	$x_{n}$
Вероятность	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$...$	$p_{n}$

Математическим ожиданием случайной величины $X$ называют число

EX = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + x_{3} \cdot p_{3} + ... + x_{n} \cdot p_{n} .

Математическое ожидание $EX$ называют также ожидаемым значением случайной величины $X$, средним значением случайной величины $X$.

Математическое ожидание случайной величины, которая имеет измеряемые значения в определённых единицах, также будет измеряться в указанных единицах. Например, для случайной величины «вес» математическое ожидание будет выражено в килограммах, а для случайной величины «рост» — в сантиметрах. Это связано с тем, что значения случайной величины и её математического ожидания согласуются в одних и тех же единицах измерения.

Пример:

предположим, что мы выбираем случайную величину $X$ в качестве числа очков, которые выпали на одной игральной кости. Вероятность выпадения каждой грани одинакова и равна

\frac{1}{6}

Следовательно,

EX = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5 .

Представим ситуацию, в которой каждое значение случайной величины имеет одинаковую вероятность появления. В таком случае математическое ожидание можно определить как просто среднее арифметическое всех значений. Пример выше наглядно демонстрирует эту концепцию.

Обрати внимание!

Чтобы найти математическое ожидание в электронной таблице, используют функцию СУММПРОИЗВ().

Рис. $1$. Функция в редакторе электронных таблиц

В примере найдено математическое ожидание выигрыша в случайной лотерее.

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Математическое ожидание случайной величины

Теория: