5. Дисперсия и стандартное отклонение

Речь идёт о теории вероятностей, где случайные величины играют важную роль. Они имеют возможность принимать разные значения, и нам нужно уметь описывать их среднее значение и рассеивание.

 

При анализе описательной статистики мы обсуждали понятия среднего арифметического и дисперсии числовых наборов. Дисперсия числового ряда показывает разброс данных. Если дисперсия меньше, то, значит, разброс значений тоже меньше. В то же время, чем больше дисперсия, тем больше разброс значений.

 

Для описания среднего значения случайной величины применяется математическое ожидание. А для описания рассеивания чаще всего используется дисперсия случайной величины.

 

Обозначают дисперсию случайной величины \(D(X)\) или \(DX\).

Очевидно, что $\mathit{DX}\ge 0$. Чем меньше дисперсия, тем более кучно значения случайной величины группируются около математического ожидания \(EX\).

 

Если же $\mathit{DX}=0$, то случайная величина \(X\) принимает единственное значение. В таком случае говорят, что случайная величина постоянна.

 

Найдём дисперсию случайной величины \(X\) «число очков при однократном броске кубика». Нам известно, что $\mathit{EX}=\mathrm{3,5}$. Построим распределение случайной величины $X-\mathit{EX}$.

 

 

Тогда $\mathit{DX}=\frac{1}{6}({(-\mathrm{2,5})}^2+{(-\mathrm{1,5})}^2+{(-\mathrm{0,5})}^2+{\mathrm{0,5}}^2+{\mathrm{1,5}}^2+{\mathrm{2,5}}^2)\approx \mathrm{2,917}.$

 

Отметим особенность дисперсии: она измеряется не в тех единицах, что сама случайная величина. Если случайная величина измеряется в метрах, то дисперсия — в метрах квадратных и т. д. Это часто бывает неудобно.

 

Поэтому используют стандартное отклонение случайной величины, для того чтобы рассеивание выразить в тех же единицах, в каких выражается случайная величина.