Теория:
Существует более простая формула для вычисления дисперсии, которая обычно удобнее: .
Нам понадобятся ещё некоторые свойства дисперсии.
Свойство \(1\). Пусть случайная величина \(X\) имеет дисперсию \(DX\), и пусть \(a\) — произвольное число. Тогда .
При сдвиге значений дисперсия случайной величины не меняется.
Свойство \(2\). Пусть случайная величина \(X\) имеет дисперсию \(DX\), и пусть \(b\) — произвольное число. Тогда .
Пример:
дисперсия случайной величины \(X\) равна \(5\). Найдём дисперсию случайной величины .
Используя свойство \(1\): .
По свойству \(2\): .
Свойство \(3\). Пусть случайные \(X\) и \(Y\) независимы и их дисперсии равны \(DX\) и \(DY\). Тогда .
Данное свойство верно не только для двух, но и для произвольного числа независимых случайных величин. Это очень важное и интересное свойство. Дисперсии независимых случайных величин можно складывать.
Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий.
Это свойство отчасти объясняет, почему дисперсия стала наиболее употребительной мерой рассеивания.
Также рассмотрим теоремы, которые позволяют находить математическое ожидание и дисперсию числа попыток в испытаниях до первого успеха.
Теорема \(1\). Если вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), то математическое ожидание случайной величины \(X\) «число испытаний до первого успеха» равно .
Теорема \(2\). Если вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), то дисперсия случайной величины \(X\) «число испытаний до первого успеха» равна . Следовательно, стандартное отклонение равно .
Данные теоремы мы пока рассматриваем без доказательства.