Теория:
Бывает так, что для случайной величины известны и конечны и математическое ожидание, и дисперсия. В подобных случаях применяется неравенство Чебышёва (данное неравенство является следствием неравенства Маркова):
Как и неравенство Маркова, неравенство Чебышёва можно записать в другом виде:
Пример:
проводились испытания Бернулли. Всего проведено 2000 испытаний. Вероятность успеха в каждом из испытаний составила 0,5. Воспользовавшись неравенством Чебышёва, оцени вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составила меньше 100.
Решение
Так как число успехов распределяется в нашем примере по закону Бернулли, рассчитываем среднее число успехов:
После этого подсчитываем дисперсию:
Подставляем все данные в неравенство Чебышёва и получаем:
Т. е. вероятность составляет не меньше 0,95.
Обрати внимание!
Чебышёв Пафнутий Львович (\(1821\)–\(1894\)) был убеждён, что математика должна служить естествознанию и техническому прогрессу, и его вклад в науку был мотивирован прикладными задачами.
В области теории вероятностей он оставил заметный след: ввёл понятие случайных величин и разработал метод моментов, благодаря чему смог с элегантностью доказать закон больших чисел. Труды Чебышёва заложили фундамент русской школы теории вероятностей.