Параллельность прямых, прямой и плоскости — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Теория

1. Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых $a$ и $b$ обозначается так:

a ∥ b или b ∥ a

Teорема $1$. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство

1. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость

α

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой $a$ обозначаем точки $B$ и $C$, а на прямой $b$ — точку $A$.

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость ($2$ аксиома), то

α

является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые $a$ и $b$.

Теорема $2$. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Доказательство

1. Через данную прямую $a$ и точку $M$, которая не лежит на прямой, проводится плоскость

α

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости

α

через точку $M$ можно провести только одну прямую $b$, которая параллельна прямой $a$.

Теорема $3$. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

($1$ рис.)

($2$ рис.)

Доказательство:

рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$ и допустим, что прямая $b$ пересекает плоскость

α

в точке $M$ (1 рис.).

Из $1$-й теоремы известно, что через параллельные прямые $a$ и $b$ можно провести только одну плоскость

β

Так как точка $M$ находится на прямой $b$, то $M$ также принадлежит плоскости

β

(2 рис.). Если у плоскостей

α

β

есть общая точка $M$, то у этих плоскостей есть общая прямая $c$, которая является прямой пересечения этих плоскостей ($4$ аксиома).

Прямые $a$, $b$ и $c$ находятся в плоскости

β

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых $b$ пересекает прямую $c$, то вторая прямая $a$ тоже пересекает $c$.

Точку пересечения прямых $a$ и $c$ обозначим за $K$.

Так как точка $K$ находится на прямой $c$, то $K$ находится в плоскости

α

и является единственной общей точкой прямой $a$ и плоскости

α

Значит, прямая $a$ пересекает плоскость

α

в точке $K$.

Теорема $4$. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано:

a ∥ c и b ∥ c

Доказать:

a ∥ b

Доказательство:

выберем точку $M$ на прямой $b$.

Через точку $M$ и прямую $a$, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость

α

(через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая $b$ пересекает плоскость

α

; или 2) прямая $b$ находится в плоскости

α

Пусть прямая $b$ пересекает плоскость

α

Значит, прямая $c$, которая параллельна прямой $b$, тоже пересекает плоскость

α

. Так как

a ∥ c

, то получается, что $a$ тоже пересекает эту плоскость. Но прямая $a$ не может одновременно пересекать плоскость

α

и находиться в плоскости

α

. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая $b$ пересекает плоскость

α

, является неверным.

Значит, прямая $b$ находится в плоскости

α

Теперь нужно доказать, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Пусть у прямых $a$ и $b$ есть общая точка $L$.

Это означает, что через точку $L$ проведены две прямые $a$ и $b$, которые параллельны прямой $c$. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек.

Так как прямые $a$ и $b$ находятся в одной плоскости

α

, и у них нет общих точек, то они параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.

Выводы
1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: $если a ∥ b и b ∥ c, то a ∥ c .$

Пример:

одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма $ABCD$ сторона $AD$ пересекает плоскость

α

в точке $K$.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону $BC$, тоже пересекает плоскость

α

2. Параллельность прямой и плоскости

Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит (находится) в плоскости;

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);

3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема $5$ «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Если $b$

\subset

α

, прямая $a$ не лежит в плоскости

α

a ∥ b

, то

a ∥ α

Доказательство

Доказательство проведём от противного. Пусть прямая $a$ пересекает плоскость

α

. Тогда, согласно теореме о двух параллельных прямых, параллельная ей прямая $b$ также должна пересекать плоскость

α

, а это противоречит условию, ведь прямая $b$ лежит в плоскости

α

. Значит, прямая $a$ не пересекает плоскость

α

, то есть $a$ параллельна плоскости

α

Приведём ещё одно доказательство.

Пусть $a$ не параллельна плоскости

α

, тогда прямая $a$ пересекает плоскость в некоторой точке $A$. Причём $A$ не находится на $b$, так как

a ∥ b

. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации

a ∥ b

, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая $a$ должна быть параллельна плоскости

α

Обрати внимание!

Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема $6$.
Если плоскость $β$ проходит через данную прямую $a$, параллельную плоскости $α$ , и пересекает эту плоскость по прямой $b$, то $b ∥ a$ .

Обрати внимание!

Прямую $b$ иногда называют следом плоскости

β

на плоскости

α

Теорема $7$.
Если одна из двух параллельных прямых $a ∥ b$ параллельна данной плоскости $α$ , то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Вернуться в тему

Следующая теория