Исследование функций на монотонность — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

1. Исследование функций на монотонность

Теория

Теорема $1$. Если во всех точках открытого промежутка $X$ выполняется неравенство $f^{'} (x) \geq 0$ (причём равенство $f^{'} (x) = 0$ выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция $y = f (x)$ возрастает на промежутке $X$.

2 (1).png

Теорема $2$. Если во всех точках открытого промежутка $X$ выполняется неравенство $f^{'} (x) \leq 0$ (причём равенство $f^{'} (x) = 0$ выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция $y = f (x)$ убывает на промежутке $X$.

3 (1).png

Итак:

если существует производная функции в интервале $(a,b)$ и в данном интервале

f' (x) \geq 0

, то функция в нём не убывает;

f' (x) \leq 0

, то функция в нём не возрастает;

f' (x) > 0

, то функция в нём возрастает;

f' (x) < 0

, то функция в нём убывает.

Пример:

необходимо исследовать интервалы монотонности функции

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 17

Сначала находим производную:

f' (x) = (x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 17)' = 3 x^{2} - 8 x - 16

Это парабола, которая пересекает ось $x$ в точках

x_{1} = - \frac{4}{3}

x_{2} = 4

, и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале

(- \frac{4}{3}; 4)

(функция убывает) и положительна в интервалах

(- \infty; - \frac{4}{3})

(4; + \infty)

(функция возрастает).

Ответ:

функция

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 17

возрастает в интервалах

(- \infty; - \frac{4}{3}]

[4; + \infty)

, убывает в интервале

[- \frac{4}{3}; 4]

Вернуться в тему

Следующая теория