Отыскание точек экстремума — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

2. Отыскание точек экстремума

Теория

Теорема $3$. Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x = x_{0}$ , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема $4$ (достаточные условия экстремума). Пусть функция $y = f (x)$ непрерывна на промежутке $X$ и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку $x = x_{0}$ . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при $x < x_{0}$ выполняется неравенство $f' (x) < 0$ , а при $x > x_{0}$ — неравенство $f' (x) > 0$ , то $x = x_{0}$ — точка минимума функции $y = f (x)$ );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при $x < x_{0}$ выполняется неравенство $f' (x) > 0$ , а при $x > x_{0}$ — неравенство $f' (x) < 0$ , то $x = x_{0}$ — точка максимума функции $y = f (x)$ );

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки $x_{0}$ знаки производной одинаковы, то в точке $x_{0}$ экстремума нет.

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными, а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции $f (x)$ , сначала нужно найти критические точки, в которых $f' (x) = 0$ или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции $y = f (x)$ на монотонность и экстремумы

1. Найдём производную $f' (x)$ .

2. Определим критические точки.

3. Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

4. Опираясь на теоремы $1$, $2$ и $4$, определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

Сделаем выводы:

1) если производная функции в критической точке меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума;

2) если производная функции в критической точке меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума;

3) если производная функции в критической точке не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

Пример:

найти экстремумы функции

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

Производная этой функции —

f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

, значит, критические точки функции — это $x=0$ и $x=2$. Точка $x=1$ не принадлежит области определения функции.

Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала:

(- \infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)

. Знак первого интервала положительный (например,

f'

$(-1)=0.75$). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

$(- \infty; 0)$	$(0; 1)$	$(1; 2)$	$(2; + \infty)$
$+$	$-$	$-$	$+$

Значит, производная меняет знак только в точках $x=0$ и $x=2$.

В точке $x=0$ она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции $f(0)=0$.

В точке $x=2$ она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции $f(2)=4$.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория