Определение производной функции — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования

2. Определение производной функции

Теория

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции.

y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

(Часто вместо

f (x + Δ x) - f (x)

пишется

Δ y

Итак,

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (x)

Иногда используются обозначения

f' (x)

или

\frac{dy}{dx}

Пример:

(x + 13)' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x + 13) - (x + 13)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 1 = 1

;

\begin{array}{l} {(\frac{1}{x})}^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{x + Δ x} - \frac{1}{x}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + Δ x)} - \frac{x + Δ x}{x (x + Δ x)}}{Δ x} = \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{- Δ x}{x (x + Δ x)}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{x (x + Δ x)} = - \frac{1}{x^{2}} . \end{array}

Физический (механический) смысл производной: если $s(t)$ — закон прямолинейного движения тела, то производная показывает мгновенную скорость в момент времени $t$:

$v = s^{'} (t)$ .

Геометрический смысл производной: если к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$ можно провести касательную, не параллельную оси $y$, то $f^{'} (a)$ — угловой коэффициент касательной:

$k = f^{'} (a)$ .