3.
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
Теория
Правило треугольника
От конца вектора откладываем вектор, равный . Соединяем начало первого вектора и конец второго. Получившийся вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , называется суммой этих векторов.
Правило параллелограмма
Векторы откладываются от одной точки. Достраивается параллелограмм со сторонами, параллельными данным векторам. Диагональ получившегося параллелограмма, идущая из их общего начала в противоположную вершину, является суммой исходных векторов.
При сложении векторов выполняется переместительный закон, т. е. ,
и сочетательный закон, т. е. .
Два ненулевых вектора называются противоположными, если они равны по длине и противоположно направлены. Например, векторы и противоположны.
Разностью двух векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору .
Т. е. в этом случае следует сложить вектор с вектором, противоположным вектору .
Построить вектор разности можно двумя способами, первый из которых проиллюстрирован ниже.
Для нахождения разности векторов вторым способом можно воспользоваться формулой: .
Даже если векторов больше, чем два, складывают их по тому же принципу — переносят так, чтобы началo каждого следующего совпало с концом предыдущего. Тогда вектор, соединяющий начало и конец такой ломаной, и будет суммой всех этих векторов.
Это правило называется «правилом многоугольника».
Это правило называется «правилом многоугольника».
Умножение вектора на число
Произведением вектора на число \(k\) называется такой вектор , длина которого равна , причём векторы сонаправлены, если \(k>0\), и противоположно направлены, если \(k<0\).
Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.
Обозначение:
.
Векторы и \(k\) коллинеарны для любого \(k\). Если два вектора и коллинеарны, то существует такое число \(k\), что \(=k\).
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Для любых векторов и и чисел \(k\) и \(l\) справедливы следующие законы:
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Для любых векторов и и чисел \(k\) и \(l\) справедливы следующие законы:
сочетательный: ;
первый распределительный: ;
второй распределительный: .