Решение логарифмических уравнений и неравенств
4. Логарифмические неравенства
Теория
Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.
Поэтому решение неравенств вида logafx>logagx сводится к решению соответствующих неравенств для функций \(f(x)\) и \(g(x)\).
 
Обрати внимание!
Если основание \(a>1\), то переходят к неравенству  \(f(x) > g(x)\) (знак неравенства не меняется), т. к. в этом случае логарифмическая функция возрастающая.
 
Если основание \(0 < a < 1\), то переходят к неравенству \(f(x)< g(x)\) (знак неравенства меняется), т. к. в этом случае логарифмическая функция убывающая.
В обоих случаях дополнительно находят ОДЗ:
fx>0gx>0
— при условии, что основание a>0,a≠1.
 
Полученное множество решений неравенства должно входить в ОДЗ, поэтому находят пересечение множеств.
Пример:
реши неравенство log23−x<−1.
Решение
log23−x<−1;ОДЗ:log23−x<log22−1;3−x>0;log23−x<log20,5;−x>−3;3−x<0,5;x<3;−x<0,5−3;x∈(−∞;3).−x<−2,5;x>2,5;x∈2,5;+∞;
 
x∈2,5;+∞x∈−∞;3
 
0_11.png
 Ответ: x∈2,5;3.
Пример:
решить неравенство log0,5x−2≥log0,52x−12.
Решение   
ОДЗ:x−2>02x−12>0x>22x>12x>2x>6⇒x>6x∈6;+∞.
 
log0,5x−2≥log0,52x−12;x−2≤2x−12;x−2x≤−12+2;−x≤−10;x≥10;
 
x∈[10;+∞)x∈6;+∞
 
1_0_2.png
Ответ: x∈[10;+∞).
Источники:
Изображения: решение неравенств. © ЯКласс.
Предыдущая теория
Вернуться в тему
Следующее задание
Copyright © 2026 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных Деятельность в области информационных технологий