Потенцирование — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

2. Потенцирование

Теория

Решение логарифмических уравнений типа

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

сводится к решению уравнения

f (x) = g (x)

Это следует из монотонности логарифмической функции.

Потенцирование — это переход от уравнения вида

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

к уравнению

f (x) = g (x)

, где \(a\) — отличное от единицы положительное число,

f (x)

g (x)

— элементарные алгебраические функции, \(f(x) > 0, g(x) > 0\).

Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения

f (x) = g (x)

и среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

В случае, если уравнение

f (x) = g (x)

решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.

Пример:

реши уравнение:

\log_{5} (x + 1) = \log_{5} (2 x - 3)

Решение

Находим ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2 x - 3 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ 2 x > 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > 1,5 \end{cases} \\ \Rightarrow x \in (1,5; + \infty) . \end{array}

Решаем уравнение:

\begin{array}{l} x + 1 = 2 x - 3; \\ x - 2 x = - 3 - 1; \\ - x = - 4 . \end{array}

\(x=4\) принадлежит интервалу

x \in (1,5; + \infty)

значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.
Ответ: \(x=4\).

Пример:

реши уравнение

\log_{0,7} (x + 4) + \log_{0,7} (2x + 3) = \log_{0,7} (1 - 2 x)

Решение

ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \\ 1 - 2 x > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 4 \\ 2 x > - 3 \\ - 2 x > - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 4 \\ x > - 1,5 \\ x < 0,5 \end{cases} \\ \Rightarrow x \in (- 1,5; 0,5) . \end{array}

\begin{array}{l} \log_{0,7} (x + 4) (2 x + 3) = \log_{0,7} (1 - 2 x); \\ (x + 4) (2 x + 3) = 1 - 2 x; \\ 2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 1 - 2 x; \\ 2 x^{2} + 13 x + 11 = 0; \\ x_{1} = - 1, x_{2} = - 5,5; \\ x_{1} = - 1 \in ОДЗ; \\ x_{2} = - 5,5 \notin ОДЗ; \end{array}

значит, \(-5,5\) не является корнем исходного уравнения.
Ответ: \(x = - 1\).