Формулы двойного аргумента (базовый уровень) — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов Синус и косинус двойного угла.

3. Формулы двойного аргумента (базовый уровень)

Теория

Формулы двойного аргумента позволяют представить тригонометрическую функцию удвоенного аргумента в виде выражения тригонометрических функций простого (одинарного) аргумента.

Эти формулы устанавливают соотношение между \(sin 2 x\), \(cos 2 x\), \(tg 2 x\) и \(sin x\), \(cos x\), \(tg x\).

Последовательно приведём и докажем формулы двойного аргумента для функций синуса, косинуса и тангенса.

1. Рассмотрим выражение \(sin 2 x\) — представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\) и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов:

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β

Тогда получим:

\sin 2 x = \sin (x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x

Итак,

формула синуса двойного аргумента:

\sin 2 x = 2 \sin x \cdot \cos x

2. Рассмотрим выражение \(cos 2 x\) и аналогично представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), а также воспользуемся известной формулой косинуса суммы аргументов:

\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β

Тогда получим:

\cos 2 x = \cos (x + x) = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Итак,

формула косинуса двойного аргумента:

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

3. Теперь рассмотрим выражение \( tg 2 x\) и вновь представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), что даст возможность воспользоваться известной формулой тангенса суммы аргументов:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

Тогда получим:

tg 2 x = tg (x + x) = \frac{tg x + tg x}{1 - tg x \cdot tg x} = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}

;

формула тангенса двойного аргумента:

tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}

Обрати внимание!

Формулы синуса двойного аргумента и косинуса двойного аргумента верны для всех значений аргумента.

Формула тангенса двойного аргумента верна лишь для значений \(x\), входящих в область определения функций \(tg x\) и \(tg 2 x\), при выполнении условия

1 - {tg}^{2} x \neq 0

. То есть

x \neq \frac{π}{2} + π k, k \in ℤ

x \neq \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ

Вместо аргумента \(x\) может стоять любое выражение, например:

\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x

;

\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}

— эту формулу называют формулой половинного аргумента;

\cos 48 ° = \cos^{2} 24 ° - \sin^{2} 24 °

;

\cos (2 x + 6 y) = {\cos 2 (x + 3 y) = \cos}^{2} (x + 3 y) - \sin^{2} (x + 3 y)

;

tg (\frac{2 π}{3} - 2 t) = tg (2 (\frac{π}{3} - t)) = \frac{2 tg (\frac{π}{3} - t)}{1 - {tg}^{2} (\frac{π}{3} - t)}

и т. п.

Любую из рассмотренных формул двойного аргумента можно использовать в обе стороны.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория