Формулы тангенса суммы и разности аргументов — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов Синус и косинус двойного угла.

2. Формулы тангенса суммы и разности аргументов

Теория

Формулы тангенса суммы и разности углов устанавливают соотношение между тангенсом общей суммы или разности аргументов и тангенсами отдельных аргументов — слагаемых.

При всех допустимых значениях аргументов справедливы формулы:

тангенса суммы аргументов:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

; (\(1\))

тангенса разности аргументов:

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

. (\(2\))

Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т. е. выполняются условия:

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

α + β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

, для формулы (\(1\)),

α - β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

, для формулы (\(2\)).

Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике — особенно в радиотехнике.

Вывод формул естественным образом получается из определения функции тангенса и использования уже известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.

Докажем формулу тангенса суммы аргументов. Имеем:

tg (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}

Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на

\cos α \cdot \cos β

учитывая, что значение дроби от этого не изменится и что

\cos α \cdot \cos β \neq 0

из принятых выше условий

для допустимых значений аргументов, т. е.

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

. Тогда:

tg (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

— что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается формула тангенса разности аргументов:

tg (α - β) = \frac{\sin (α - β)}{\cos (α - β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β} .

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория