Метод интегрирования по частям — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

4. Метод интегрирования по частям

Теория

Формула интегрирования по частям такова:

если даны функции \(u(x)\) и \(v(x)\), то

\int u dv = uv - \int v du

(Из формулы нахождения производной произведения

(uv)' = u' v + uv'

следует, что

uv' = (uv)' - u' v

. Интегрируя последнее равенство, получаем формулу интегрирования по частям.)

С помощью данного преобразования стараются получить более лёгкое в интегрировании подынтегральное выражение.

Пример:

\begin{array}{l} \int x e^{x} dx = [\begin{array}{l} u = x & du = dx \\ dv = e^{x} dx & v = e^{x} \end{array}] = \int u dv = \\ = uv - \int v du = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C; \end{array}

\begin{array}{l} \int \ln x dx = [\begin{array}{l} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{array}] = \int u dv = \\ = uv - \int v du = \ln x \cdot x - \int (x \cdot \frac{1}{x}) dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C; \end{array}

\begin{array}{l} \int x \cos x dx = [\begin{array}{l} u = x & du = dx \\ dv = \cos x dx & v = \sin x \end{array}] = \int u dv = uv - \int v du = \\ = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x - (- \cos x + C) = x \sin x + \cos x + C . \end{array}