Метод замены переменной в интегрировании — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

3. Метод замены переменной в интегрировании

Теория

Во многих случаях в вычислении неопределённого интеграла можно использовать замену переменной и следующую зависимость:

если

x = φ (t)

, то

dx = φ' (t) dt

(так же, если в зависимости поменять местами \(x\) и \(t\): если

t = φ (x)

, то

dt = φ' (x) dx

Пример:

\int \frac{dx}{{(x - 2)}^{5}} = [\begin{array}{l} x - 2 = t \\ x = t + 2 \\ dx = (t + 2)' dt = dt \end{array}] = \int \frac{dt}{t^{5}} = - \frac{1}{4 t^{4}} + C = - \frac{1}{4 {(x - 2)}^{4}} + C

;

\int \frac{x^{2} dx}{x^{3} + 13} = [\begin{array}{l} t = x^{3} + 13 \\ x^{2} dx = \frac{(x^{3} + 13)' dx}{3} = \frac{dt}{3} \end{array}] = \int \frac{dt}{3 t} = \frac{\ln |t|}{3} + C = \frac{\ln |x^{3} + 13|}{3} + C

;

\int \sin^{5} x \cos x dx = [\begin{array}{l} t = \sin x \\ dt = (\sin x)' dx = \cos x dx \end{array}] = \int t^{5} dt = \frac{t^{6}}{6} + C = \frac{\sin^{6} x}{6} + C