Применение производной для доказательства — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Монотонность функции. Точки экстремума. Исследование функций и построение графиков

3. Применение производной для доказательства

Теория

Теорема (условие постоянства функции).

Для того чтобы непрерывная функция $y=f(x)$ была постоянна на промежутке $X$, необходимо и достаточно, чтобы во всех внутренних точках промежутка производная функции была равна нулю.

Пример:

докажи, что если $α < β$ , то $α + \cos α < β + \cos β$ .

Решение. Рассмотрим функцию $f (x) = x + \cos x$ . Её производная равна:

$f^{'} (x) = {(x + \cos x)}^{'} = 1 - \sin x$ .

$f^{'} (x) \geq 0$ при любых $x$. Равенство $f^{'} (x) = 0$ выполняется только в точках вида $x = \frac{π}{2} + 2 π n, n \in ℤ$ . Поэтому функция возрастает при любых $x$. Значит, если $α < β$ , то $f (α) < f (β)$ , т. е. $α + \cos α < β + \cos β$ .

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория