Построение графиков функций — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Монотонность функции. Точки экстремума. Исследование функций и построение графиков

4. Построение графиков функций

Теория

Построение графиков любых функций выполняется по точкам. Однако не всегда заранее мы знаем как выглядит график. В этих случаях выделяют особо значимые точки графика, которые и задают его вид.

Обрати внимание!

К особо значимым точкам графика функции $y = f (x)$ относят:

— стационарные и критические точки;

— точки экстремума;

— точки пересечения графика с осью $x$ (нули функции) и с осью $y$;

— точки разрыва функции.

Таким образом, для построения сложной функции сначала нужно исследовать свойства этой функции, найти важные её точки и уже потом по этим точкам строить график.

Существует чёткий план исследования свойств функции, позволяющий определить поведение функции на области определения и построить её график.

1) Когда функция $y = f (x)$ непрерывна на всей числовой прямой, тогда определяют точки пересечения графика с осями координат, стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности и несколько контрольных точек, если это необходимо.

2) Когда функция $y = f (x)$ определена не на всей числовой прямой, тогда в первую очередь находят область определения функции и точки разрыва.

3) Проверяют функцию на чётность, т. к. график чётной функции симметричен относительно оси $y$ и график нечётной функций симметричен относительно начала координат. Значит, можно построить только ветвь графика при $x>0$, а затем симметрично её отобразить.

4) Если $\lim_{x \to \infty} f (x) = b$ , то, прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой графика функции $y = f (x)$ .

5) Прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой графика функции $y = f (x)$ , если $y \to \infty при x \to a$ .

Пример:

построить график функции $y = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}$ .

Решение $1$. Обозначим: $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}$ . Область определения этой функции: $D (f) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ , так как $x \neq 2, x \neq - 2$ .

2. Проведём исследование функции на чётность/нечётность:

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2} + 4}{{(- x)}^{2} - 4} = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4} = f (x)$ .

Функция чётная. Следовательно, можно построить ветви графика функции для $x \geq 0$ и отобразить их симметрично относительно оси ординат.

3. Определим асимптоты. Вертикальные асимптоты: прямые $x=-2$ и $x=2$, т. к. при $x=-2$ и $x=2$ знаменатель дроби равен нулю, а числитель при этом не равен нулю. Для определения горизонтальной асимптоты вычисляем $\lim_{x \to \infty} f (x)$ :

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = 1$ .

Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.

4. Определим стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4})}^{'} = \frac{{{(x}^{2} + 4)}^{'} \cdot (x^{2} - 4) - (x^{2} + 4) \cdot {(x^{2} - 4)}^{'}}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = \frac{2 x \cdot (x^{2} - 4) - (x^{2} + 4) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = \\ = \frac{- 16x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} . \end{array}$

Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.

Стационарные точки определим из уравнения $y^{'} = 0$ . Получаем: $-16x=0$ — откуда получаем, что $x=0$. При $x<0$ имеем: $y^{'} > 0$ ; при $x>0$ имеем: $y^{'} < 0$ . Таким образом, в точке $x=0$ функция имеет максимум, причём $y_{\max} = f (0) = \frac{0^{2} + 4}{0^{2} - 4} = - 1$ .

При $x>0$ имеем: $y^{'} < 0$ . Учитывая точку разрыва $x=2$, делаем вывод: функция убывает на промежутках $[0; 2)$ и $(2; + \infty)$ .

5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}$ при $x \geq 0$ :

$x$	$0$	$0.5$	$1$	$3$	$4$
$y$	$-1$	$- \frac{17}{15}$	$- \frac{5}{3}$	$\frac{13}{5}$	$\frac{5}{3}$

6. Сначала нарисуем часть графика при

x \geq 0

, потом — часть, симметричную ей относительно оси $y$. Полученный график имеет точку максимума $(0;-2)$, горизонтальную асимптоту $y=1$ и две вертикальные асимптоты $x=-2$ и $x=2$.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

\(x\)	\(0\)	\(0.5\)	\(1\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(-1\)	$- \frac{17}{15}$	$- \frac{5}{3}$	$\frac{13}{5}$	$\frac{5}{3}$