Корень из частного — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

4. Корень из частного

Теория

Cвойство формулируется только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Если

a \geq 0, b > 0

и \(n\) — натуральное число, большее \(1\), то справедливо равенство:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

(корень из частного равен частному корней).

Формула применяется как слева направо, так и справа налево.

Пример:

вычисли выражения.
1)

\sqrt{\frac{16}{81}}

Решение:

\sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}} = \frac{4}{9}

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

Решение:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}

\sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}

Решение:

представим смешанное число

5 \frac{1}{16}

в виде обыкновенной дроби

\frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}

и применим формулу:

\sqrt[4]{5 \frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} = 1,5 .

\sqrt[3]{\frac{81}{256}} : \sqrt[3]{\frac{3}{4}}

Решение:

черту дроби можно заменить знаком деления, поэтому можно применить данную формулу:

\sqrt[3]{\frac{81}{256}} : \sqrt[3]{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{81}{256} : \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{81}{256} \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt[3]{\frac{81 \cdot 4}{256 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{27 \cdot 1}{64 \cdot 1}} = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{3}{4}