1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений

Теория:

Определение \(1\)
Если множества  корней уравнений f(x)=g(x) и p(x)=h(x) совпадают, то уравнения являются равносильными. 
Равносильными будут уравнения, не имеющие корней.
 
Определение \(2\)
Если корни уравнения f(x)=g(x)      \((1)\)
являются корнями уравнения p(x)=h(x),    \((2)\)
то уравнение \((2)\) является следствием уравнения \((1)\).
Пример:
уравнение x−22=9 является следствием уравнения x−2=3.
В самом деле, решив каждое уравнение, получим:
x−22=9x−2=3;x−2=−3;x1=5;x2=−1;           и            x−2=3;x=5.
 
Корень второго уравнения является одним из корней первого уравнения, поэтому первое уравнение — следствие второго уравнения.
 
Очевидно следующее утверждение:
два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
При решении уравнения выполняем равносильные и/или неравносильные преобразования и находим корни последнего полученного уравнения. Если в ходе решения применялись неравносильные преобразования, то обязательно подставляем полученные корни  в исходное уравнение и проверяем,  действительно ли они удовлетворяют ему. Если в ходе решения применялись только равносильные преобразования, то проверка не нужна.
 
Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе, основано на шести теоремах о равносильности.
  
Теорема \(1\)
Если член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получится равносильное данному уравнение.
Теорема \(2\)
Если левую и правую части уравнения возвести одинаковую нечётную степень, то получится равносильное данному уравнение.
Теорема \(3\)
Показательное уравнение af(x)=ag(x), где \(a>0\), a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).
Определение \(3\)
Областью определения уравнения f(x)=g(x) называют множество значений переменной \(x\), при которых имеют смысл оба выражения \(f(x)\) и \(g(x)\). Область определения уравнения называют ещё областью допустимых значений переменной (ОДЗ).
Теорема \(4\)
Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f(x)⋅h(x)=g(x)⋅h(x), если выражение  \(h(x)\):
a) имеет смысл в каждой точке области определения уравнения f(x)=g(x);
б) не равно \(0\) ни при каких значениях \(x\) из области определения уравнения.
Следствие теоремы \(4\)
При умножении или делении левой и правой частей уравнения на одинаковое, не равное нулю число, получается уравнение, равносильное исходному.
Теорема \(5\)
Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень \(n\) получится уравнение, равносильное данному: f(x)n=g(x)n.
Теорема \(6\)
Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение logaf(x)=logag(x), где \(a>0\), a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).
Вернуться в тему
Следующая теория
Copyright © 2026 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных Деятельность в области информационных технологий