Теория:
Проверка корней и потеря корней
В ходе решения уравнений, выполняя различные преобразования, можем получить уравнение-следствие. Это может произойти, если применить одну из теорем — \(4\), \(5\) или \(6\) — не проверив факт выполнения ограничений, заложенных в формулировке теоремы.
Пример:
возведём в квадрат левую и правую части равенства .
Область определения уравнения может увеличиться, если при его решении:
1) избавляемся от знаменателя, содержащего переменную;
2) избавляемся от знака корня чётной степени;
3) избавляемся от знака логарифма.
Обрати внимание!
Для выявления посторонних корней при переходе к уравнению-следствию необходима проверка всех найденных корней.
Посторонние корни могут появиться при:
1) расширении области определения уравнения;
2) возведении левой и правой частей уравнения в одинаковую чётную степень;
3) умножении левой и правой частей уравнения на имеющее смысл выражение с переменной.
При решении уравнений, при замене одного уравнения другим может как появиться посторонний корень, так и потеряться какой-то корень.
Корень можно потерять при:
1) делении левой и правой частей уравнения на выражение \(h(x)\) (при );
2) сужении области определения уравнения.
Пример:
реши уравнение:
.
\(1\) способ: \(2\) способ:
При решении вторым способом произошла потеря корня \(x=-100\).
Причина здесь — в неправильном применении формулы, которая сузила область определения выражения, т. е. вместо правильной формулы
(область определения \(x\) — любое число, кроме \(0\)) мы воспользовались неправильной формулой , перешли к выражению с областью определения \(x>0\), т. е. только положительные числа. Область определения уменьшилась и в неё не вошёл отрицательный корень уравнения.
Поэтому, применяя при решении уравнения какую-либо формулу, необходимо проследить, чтобы в правой и левой части формулы ОДЗ переменной были бы одинаковыми.