Теория:
Комбинаторное правило умножения можно применять не только в стандартных задачах, но и в более сложных. Конечно, как и при решении любой задачи, важно рассуждать.
Рассмотрим задачи.
Пример:
Задача \(1\). Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр \(8\), \(5\) и \(3\)? Цифры могут повторяться.
Решение:
для первой цифры можем выбрать одну цифру из трёх. Для второй цифры числа варианта выбора — тоже \(3\), для третьей цифры, аналогично, \(3\) цифры для выбора. То есть применяем общее комбинаторное правило умножения: \(=\) 27.
Значит, 27 различных трёхзначных чисел можно составить из цифр \(8\), \(5\) и \(3\) при условии повторения цифр.
Рассмотрели задачи, в которой цифры могли повторяться. Поэтому для выбора каждого элемента оставалось одно и то же количество вариантов.
Выполним решение задачи, в которой цифры при составлении комбинации не повторяются.
Пример:
Задача \(2\). Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр \(8\), \(5\) и \(3\)? Цифры не повторяются.
Решение:
решение данной задачи отличается от предыдущей тем, что цифры не должны повторяться. Значит, количество выбора цифр с каждой последующей цифрой будет уменьшаться.
Для первой цифры можем выбрать одну цифру из трёх. Для второй цифры числа варианта выбора — уже из \(2\) оставшихся цифр, для третьей цифры остаётся только \(1\) цифра. Теперь применяем общее комбинаторное правило умножения: \(=\) 6.
6 различных трёхзначных чисел можно составить из цифр \(8\), \(5\) и \(3\) при условии неповторения цифр.
Теперь можем записать основную формулу комбинаторного правила без повторений.
Когда комбинация состоит из нескольких элементов, при этом первый элемент в комбинации можно выбрать способами, а второй элемент — способами, третий элемент — и т. д., то общее количество возможных вариантов равно:
При решении задач, в которых элементы расставляются без повторений, важно понимать, что с каждым последующим выбранным элементом количество вариантов для выбора уменьшается.