Теория:
Существуют ситуации в комбинаторике, когда множество из элементов \(k\) необходимо упорядочить.
Пример:
Есть следующие варианты составления трёхбуквенного шифра из букв \(X\), \(Y\), \( Z\): \(XYZ\), \(XZY\), \(YXZ\), \(YZX\), \( ZXY\), \(ZYX\).
То есть имеются шесть различных вариантов составления шифра из данных элементов.
Для первого значения шифра можно выбрать букву из трёх имеющихся. Для второго элемента шифра на выбор есть только две буквы из оставшихся. И для последнего компонента шифра остаётся только одна буква.
Таким образом, элементы шифра располагаются в определённом порядке.
Если количество элементов \(k\), то первый компонент можем выбрать из данных \(k\) компонентов, второй — из \(k-1\) оставшихся, третий — из \(k-2\); так будем выбирать компоненты, пока не останется единственный, последний компонент. Для определения количества способов возможных вариантов таких перестановок используется формула умножения:
Комбинация из \(k\) различных компонентов, расположенных в определённом порядке, называется перестановкой.
Перестановка из \(k\) различных компонентов характеризуется порядком следования компонентов в комбинации.
Произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(k\) называется факториалом числа \(k\).
Обрати внимание!
Факториал обозначается .
.
Важно запомнить, что .
Запишем несколько значений факториала.
\(k\) | \(k!\) | \(k\) | \(k!\) |
\(0\) | \(1\) | \(7\) | \(5040\) |
\(1\) | \(1\) | \(8\) | \(40320\) |
\(2\) | \(2\) | \(9\) | \(362880\) |
\(3\) | \(6\) | \(10\) | \(3628800\) |
\(4\) | \(24\) | \(11\) | \(39916800\) |
\(5\) | \(120\) | \(12\) | \(479001600\) |
\(6\) | \(720\) | \(13\) | \(6227020800\) |
Пример:
Покажем примеры вычислений факториалов:
Обрати внимание!
Количество перестановок длины \(k\) равно \(k!\).