Теория:
Для расчёта суммы двух чисел, возведённой в некую степень, английский математик, один из основателей математического анализа и классической физики Исаак Ньютон вывел формулу для удобного подсчёта значения выражения.
Бином Ньютона — выражение вида .
Обрати внимание!
Формула бинома Ньютона — разложение натуральной степени бинома, то есть тождество с раскрытием скобок в данном биноме, позволяющее представить его как сумму одночленов.
Бином — двучлен.
Именно Исаак Ньютон вывел данную формулу в общем виде.
Данное равенство — формула бинома Ньютона, равенство справедливо для любого натурального значения \(k\).
Коэффициенты — биномиальные коэффициенты.
Обрати внимание!
Биномиальные коэффициенты находятся в треугольнике Паскаля.
Пример:
Биномиальные коэффициенты , , , расположены в третьей строке треугольника Паскаля.
Рис. \(1\). Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты
В общем виде формулы бинома Ньютона можно записывать последовательно с помощью треугольника Паскаля:
Рис. \(2\). Треугольник Паскаля и биномы
Некоторые свойства разложения бинома.
1. Число всех членов разложения на \(1\) больше показателя степени бинома.
В формуле количество членов разложения будет равно \(k+1\).
2. Сумма биномиальных коэффициентов равна :
3. Знакопеременая сумма биномиальных коэффициентов равна \(0\):
4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равностоящие от концов разложения, равны между собой: .
Формула бинома применяется не только в разделе комбинаторики, но и при работе с векторами, матрицами — основа нейросети, а также в программировании.
Источники:
Рис. 1. Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты. © ЯКласс.
Рис. 2. Треугольник Паскаля и биномы. © ЯКласс.