Теория:
Изучение комбинаторики позволяет исследовать различные виды комбинаций, способы их подсчёта и перечисления. Слово «комбинация» произошло от латинского combino, что означает «соединяю». При формировании любой комбинации мы объединяем отдельные элементы, выбранные из конечного множества.
Вспомним наиболее важные типы комбинаций и повторим формулы для них:
- перестановки;
- сочетания.
Комбинация из \(n\) различных компонентов, расположенных в определённом порядке, называется перестановкой. Обозначение: .
Различие между перестановками из одного набора элементов заключается не в составе, а в порядке, в котором элементы расположены в комбинации.
Элементами, которые участвуют в перестановке, могут быть числа, буквы, шары и вообще любые объекты.
Это произведение называется в математике факториалом числа \(N\) (от латинского factorialis — «умножающий») и обозначается \(n!\)
Отметим также, что
Сочетанием из \(n\) элементов по \(k\) называют комбинацию, составленную из любых \(k\) этих элементов без учёта их порядка. Обозначение: .
Все элементы сочетания, разумеется, должны быть различными. Сочетания отличаются друг от друга только составом комбинации — порядок элементов не имеет значения.
.
Значение даёт нам число способов, которыми можно выбрать \(k\) из \(n\) заданных элементов без учёта порядка, в котором мы их выбираем.
Свойства сочетаний:
1. ;
2. ;
3. ;
4. для любого ;
5.
6. .