Типы комбинаций — урок. Вероятность и статистика, 10 класс.

1. Типы комбинаций

Теория

Изучение комбинаторики позволяет исследовать различные виды комбинаций, способы их подсчёта и перечисления. Слово «комбинация» произошло от латинского combino, что означает «соединяю». При формировании любой комбинации мы объединяем отдельные элементы, выбранные из конечного множества.

Вспомним наиболее важные типы комбинаций и повторим формулы для них:

перестановки;
сочетания.

Комбинация из \(n\) различных компонентов, расположенных в определённом порядке, называется перестановкой. Обозначение:

P_{n}

Различие между перестановками из одного набора элементов заключается не в составе, а в порядке, в котором элементы расположены в комбинации.

Элементами, которые участвуют в перестановке, могут быть числа, буквы, шары и вообще любые объекты.

\begin{array}{l} P_{n} = n! \\ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n . \end{array}

Это произведение называется в математике факториалом числа \(N\) (от латинского factorialis — «умножающий») и обозначается \(n!\)

Отметим также, что

\begin{array}{l} 1! = 1; \\ 0! = 1 . \end{array}

Сочетанием из \(n\) элементов по \(k\) называют комбинацию, составленную из любых \(k\) этих элементов без учёта их порядка. Обозначение:

C_{n}^{k}

Все элементы сочетания, разумеется, должны быть различными. Сочетания отличаются друг от друга только составом комбинации — порядок элементов не имеет значения.

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Значение

C_{n}^{k}

даёт нам число способов, которыми можно выбрать \(k\) из \(n\) заданных элементов без учёта порядка, в котором мы их выбираем.

Свойства сочетаний:

C_{k}^{k} = 1

;

C_{k}^{0} = C_{k}^{k} = 1

;

C_{k}^{1} = C_{k}^{k - 1} = k

;

C_{k}^{x} = C_{k}^{k - x}

для любого

0 \leq x \leq k

;

C_{k}^{0} + C_{k}^{1} + C_{k}^{2} + ... + C_{k}^{k - 1} + C_{k}^{k} = 2^{k};

C_{k}^{x} = C_{k - 1}^{x - 1} + C_{k - 1}^{x}

Вернуться в тему

Следующая теория