Теория:
Рассмотрение случайных событий в виде множеств и их операций, таких как пересечение, объединение и дополнение, открывает возможности для различных манипуляций и анализа.
Вспомним, когда элементы двух совокупностей \(A\) и \(B\) пересекаются, они включают в себя элементы, присутствующие одновременно в обеих совокупностях. Если \(A\) содержит благоприятные исходы для одного события, а \(B\) — для другого, их пересечение состоит из благоприятных исходов для обоих, \(A\) и \(B\). Следовательно, событие произойдёт, только если произойдут оба события \(A\) и \(B\).
Результатом пересечения двух событий \(A\) и \(B\) является событие , которое описывает все возможные исходы, одновременно благоприятные для обоих событий \(A\) и \(B\). Такое событие происходит в каждом случае, когда происходят одновременно оба события, \(A\) и \(B\).
Графически результат данной операции можно показать так:
Рис. \(1\). Пересечение событий на кругах Эйлера
Пересечение событий в теории вероятностей часто называют произведением событий.
В объединение двух множеств \(A\) и \(B\) входят элементы, которые содержатся хотя бы в одном из этих множеств. Используя эту операцию, можно определить объединение случайных событий.
Объединением событий \(A\) и \(B\) называют событие , которое состоит из всех исходов, которые входят хотя бы в одно из этих событий (т. е. благоприятных хотя бы для одного события). Оно происходит всякий раз, когда происходит хотя бы одно из событий \(A\) или \(B\).
Графически результат данной операции можно показать так:
Рис. \(2\). Объединение событий на кругах Эйлера
Объединение событий в теории вероятностей часто называют суммой событий.
Обрати внимание!
Отметим, что пересечение всегда содержится в объединении.
Множество попарно несовместимых событий образует полную группу событий, их объединение является достоверным событием. Кроме того, это достоверно.
Дополнением события \(A\) называют новое событие, обозначаемое , происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие \(A\).
Графически результат данной операции можно показать так:
Рис. \(3\). Дополнение события
Источники:
Рис. 1. Противоположное событие на кругах Эйлера. © ЯКласс.
Рис. 2. Объединение событий на кругах Эйлера. © ЯКласс.
Рис. 3. Дополнение события
Рис. 3. Дополнение события