Теория:
Часто возникают ситуации, когда в ходе случайного эксперимента мы вынуждены пересмотреть наши представления о вероятности определённого события. Некоторые события могут привести к исключению определённых вариантов и увеличению вероятности оставшихся исходов.
В подобной ситуации рассматривается вероятность события \(A\) при условии наступления события \(B\). Такая вероятность обозначается \(P(A | B)\). В то же время обычная вероятность \(P(A)\), которую мы определяем до начала эксперимента, называется безусловной вероятностью.
Условной вероятностью события \(A\) при условии события \(B\) называется вероятность события \(A\), вычисленная при условии, что событие \(B\) произошло. В отличие от обычной (безусловной) вероятности она обозначается как \(P(A | B)\).
Пример:
в кармане у Саши лежат \(6\) конфет, \(2\) из которых карамельки, остальные — шоколадные. Девочка наугад вынимает из кармана конфеты и разворачивает их.
Рассмотрим события:
\(A =\) {Первая конфета будет шоколадная};
\(B =\) {Вторая конфета будет шоколадная}.
Естественно, .
Обе эти вероятности есть не что иное, как условные вероятности события \(B\): первая — при условии, что \(A\) произошло, а вторая — при условии, что \(A\) не произошло: .
Однако, найти \(P(B)\) можно и без дополнительных данных — для этого достаточно применить классическое определение вероятности. По комбинаторному правилу умножения наш опыт имеет \(6 · 5 = 30\) равновозможных исходов (первую конфету можно вытащить \(6\) способами, после чего вторую — \(5\) способами). Чтобы посчитать благоприятные для \(B\) исходы, разобьём их на два непересекающихся множества:
- первая конфета шоколадная и вторая тоже: \(4 · 3 = 12\) исходов;
- первая конфета карамелька, а вторая шоколадная: \(2 · 4 = 8\) исходов.
Теперь сложим эти два числа: \(12 + 8 = 20\). Получаем, что \(P(B) =\) .
Вероятности событий \(A\) и \(B\) оказались одинаковыми. Ничего удивительного в этом нет — ведь мы нашли безусловную вероятность события \(B\), полученную до того, как мы вынули первую конфету. После того как событие \(A\) произошло (или не произошло), вероятность события \(B\) меняется, и превращается, соответственно, в \(0,6\) или \(0,8\).
Обрати внимание!
Соответственно, формула условной вероятности для произвольных случайных событий: .
Чтобы данное отношение имело смысл, должно выполняться . Это требование вполне естественно: если \(B\) произошло, то вряд ли его вероятность равна \(0\).