Испытания Бернулли — урок. Вероятность и статистика, 10 класс.

Бинарные испытания (или испытания Бернулли) — испытания с двумя возможными исходами: успех или неудача. Вероятность успеха обозначают \(р\), вероятность неудачи — \(q\).

В испытании Бернулли вероятности \(p\) и \(q\) должны сохранять своё постоянство и не изменяться в процессе проведения эксперимента.

Элементарное событие с \(k\) успехами в серии из \(n\) независимых испытаний Бернулли имеет вероятность

p^{k} q^{n - k}

Пример:

Вероятность того, что баскетболист попадёт в кольцо, равна \(0,6\). Вероятность того, что баскетболист при семи бросках только первые три раза попадёт в кольцо, равна

p^{k} q^{n - k} = p^{3} q^{7 - 3} = {0,6}^{3} {(1 - 0,6)}^{4} = {0,6}^{3} {0,4}^{4} = 0,0055296

Число независимых бинарных испытаний с \(k\) успехами вычисляется по формуле

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Пример:

Количество бинарных элементарных событий из нашего примера выше — с тремя попаданиями в кольцо из \(7\) возможных — будет равно

C_{n}^{k} = C_{7}^{3} =

\frac{7!}{3! \cdot (7 - 3)!}

\(=\)

\frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}

\(=\) 35.

Вероятность, что в элементарном событии наступит ровно \(k\) успехов, равна

{P_{n} (k) = C}_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

Пример:

Вероятность, что баскетболист попадёт в кольцо мячом ровно \(3\) раза из семи бросков, равна

{P_{n} (k) = C}_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = C_{7}^{3} p^{3} q^{7 - 3} = 35 \cdot 0,0055296 = 0,193536 .

{P_{n} (k) = C}_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

— формула Бернулли.

Вычислять вероятности

P_{N} (k)

удобно и в электронных таблицах с помощью функции \(БИНОМРАСП()\). С её помощью мы можем найти как одну вероятность

P_{N} (k)

, так и сумму таких вероятностей от \(0\) до заданного \(k\). На то, какой именно из этих вариантов выбрать, указывает четвёртый параметр этой функции:

\begin{array}{l} P_{N} (k) = БИНОМРАСП (k; N : p; 0); \\ P_{N} (0) + P_{N} (1) + ... + P_{N} (k) = БИНОМРАСП (k; N : p; 1) . \end{array}

Для любознательных

В серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) наиболее вероятное число уcпехов \(z\) удовлетворяет неравенству

np - q \leq z \leq np - q + 1

Обрати внимание!

Если \(nk-q\) — число нецелое, то существует единственное вероятное число успехов, а если целое, то таких чисел два.

Пример:

При закидывании удочки \(8\) раз рассчитаем наиболее вероятное число пойманных рыб.
\(nk-q=\)

8 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

\(=\) 3,5. Значит, наиболее вероятное число пойманных рыб равно \(4\).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

2. Испытания Бернулли

Теория: