Испытания до первого успеха — урок. Вероятность и статистика, 10 класс.

Существуют случайные эксперименты, опыты, в которых возможно два исхода: успех или неудача — и успех случается впервые на каком-либо шаге испытаний. Серию такого эксперимента называют испытанием до первого успеха.

Пример:

В жизни примерами случайных испытаний до первого успеха являются выигрыш в лотерею при неудачных предыдущих попытках, первая победа на соревнованиях после серии неудач, зачисление в вуз после нескольких неудачных попыток.

В испытаниях до достижения первого успеха отсутствует фиксированное количество попыток. Победа в серии испытаний может наступить на любом из шагов. Также в опытах до первого успеха не вычисляется вероятность наступления \(k\) успехов. Ключевой момент заключается в ожидании первого успеха.

Обрати внимание!

Искомая вероятность наступления первого успеха в экспериментах зависит только от вероятности успеха \(p\) и от номера шага \(k\), на котором наступит первый успех.

Пример:

Вероятность удачи равна \(p=0,3\). Определи вероятность наступления удачи на \(3\) шаге испытания.
Это пример типового задания в серии случайных испытаний до первого успеха.

Исходов в эксперименте до достижения первого успеха бесконечно много, потому что нельзя гарантировать, что успех обязательно наступит на каком-либо определённом шаге. Перед победой может быть множество поражений.

Обрати внимание!

Первая удача может наступить на любом шаге, следовательно, вероятностей наступления первого успеха бесконечно много:

p, qp, q^{2} p, q^{3} p, q^{4} p, q^{5} p ...

Вероятность наступления успеха на \(k\) шаге

P (k) = q^{k - 1} p

,
где \(q\) — вероятность неудачи, \(p\) — вероятность успеха,

k \geq 1

Пример:

Вернёмся к предыдущему примеру и определим вероятность наступления успеха на \(3\) шаге испытаний при вероятности успеха \(p=0,3\).
Если \(p=0,3\), то \(q=1-p=1-0,3=0,7\), \(k=3\),

P (3) = {0,7}^{2} \cdot 0,3 = 0,147

Первый успех обязательно наступит на каком-либо шаге. Сумма всех вероятностей равна \(1\):

p + qp + q^{2} p + q^{3} p + q^{4} p + q^{5} p + ... = 1 .

Действительно, исползуя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем

\frac{p}{1 - q} = \frac{p}{p} = 1

Пример:

Какова вероятность выиграть в первый раз после двух поражений в игре «камень, ножницы, бумага»?

Вероятность победы

p = \frac{1}{3}

Вероятность поражения

q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Победа наступит на шаге \(k=3\).

Вероятность выиграть в первый раз после двух поражений в игре «камень, ножницы, бумага»

P (k = 3) = q^{k - 1} p = {(\frac{2}{3})}^{3 - 1} \cdot \frac{1}{3} = {(\frac{2}{3})}^{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} \approx 0, 15 .

Важно не путать задачи на определение вероятности экспериментов до первого успеха с задачами на применение формулы Бернулли. Главное различие в формулировках будет заключаться в количестве фиксированных шагов испытаний.

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Испытания до первого успеха

Теория: