Теория:
Связано с экспериментами Бернулли ещё одно распределение вероятностей, известное как геометрическое.
Представим серию экспериментов Бернулли до достижения первого успеха. Пусть \(X\) — количество опытов, необходимых для этого. Тогда \(X\) — дискретная случайная величина с бесконечным набором возможных значений.
Эта величина может принимать все натуральные числа от \(1\) до бесконечности, поскольку мы не можем определить верхнюю границу числа экспериментов, при которой обязательно наступит первый успех.
Вспомним формулу для вычисления вероятности достижения первого успеха на \(k\)-ом шаге: .
Эта формула задаёт распределение вероятностей.
Значения \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(…\) |
Вероятность | \(p\) | \(…\) |
Таблица может быть продолжена бесконечно вправо. Однако основное свойство закона распределения сохраняется: сумма всех вероятностей всегда равна единице.
Обрати внимание!
Вспомним, что это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(q\).
Отсюда происходит название распределения — геометрическое.
Геометрическое распределение, так же как и биномиальное, представляет собой целое семейство распределений, но с одним параметром \(p\), который равен вероятности успеха в одном испытании Бернулли. Геометрический закон распределения имеет специальное обозначение: \(Geom\)(\(p\)).
Пример:
монету бросают до тех пор, пока впервые не выпадет орёл. Случайная величина \(X\), которая обозначает количество проведённых испытаний, имеет распределение при \(p = 0,5\).
Запишем несколько первых значений с их вероятностями.
Значения \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(…\) |
Вероятность | 0,5 | \(=\) 0,25 | \(=\) 0,125 | \(…\) |
Обрати внимание!
Естественно, биномиальное и геометрическое распределения не охватывают всего многообразия законов распределения случайных величин.