Теория:
Распределение вероятностей, которое имеет любая случайная величина, называют биномиальным в случае, когда оно описывается равенством числа успехов в испытании Бернулли.
Такое название объясняется тем, что вероятности есть не что иное, как слагаемые в разложении бинома Ньютона.
Биномиальный закон — это целое семейство распределений с двумя параметрами \(N\) и \(p\), где \(N\) — количество испытаний, а \(p\) — вероятность успеха в одном испытании.
Биномиальный закон распределения имеет специальное обозначение: \(Bin(N; p)\).
Обрати внимание!
Биномиальное распределение — одно из важнейших в теории вероятностей и очень часто встречается при решении различных задач.
Разберём данное распределение на примере.
Пример:
монету подкидывают \(5\) раз. Случайная величина \(X\) соответствует количеству испытаний, при которых на монетах выпала решка.
Составим закон распределения этой величины. Возможными значениями \(X\) будут являться целые числа от \(1\) до \(5\). А для того чтобы вычислить вероятности этих значений, необходимо рассмотреть пять опытов как серию из пяти испытаний Бернулли. Будем считать выпадение решки успехом, тогда \(X\) — это число успехов в пяти испытаниях Бернулли.
Получается:
.
Остаётся только подставить значения \(k\) в эту формулу, которые равны \(0\), \(1\)… \(5\), и внести полученные значения в таблицу.
Значения \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Вероятность |
Полученное распределение будет симметричным, а максимальные значения будут достигаться при \(X = 2\) и \(X = 3\).
Случайная величина Х в примере имеет распределение \(Bin(5;0,5)\).
Распределение вероятностей, с которым вы познакомились, — не просто абстрактная математическая модель. Например, биномиальное распределение лежит в основе многих алгоритмов машинного обучения, которые используются в рекомендательных системах (как устроены ленты новостей в соцсетях) и при создании нейросетей. Когда нейросеть генерирует изображение или текст, она на каждом шаге делает бинарный выбор («успех» или «неудача») в пользу того или иного пикселя или слова, опираясь на вероятности, рассчитанные на основе биномиальной модели. Таким образом, понимание того, как устроены случайные величины и их распределения, — это шаг к пониманию того, как работают современные технологии искусственного интеллекта.