Теория:
Распределение случайной величины, также известное как закон распределения, обеспечивает информацию о возможных значениях и вероятностях этих значений. Знание распределения вероятностей является важным.
Вероятностное распределение случайной величины определяет закон, описывающий все возможные значения этой случайной величины и вероятности их возникновения.
Закон о распределении вероятностей получил своё название из-за его способности разбросать вероятность между различными значениями случайной величины, чтобы в итоге она составила единицу
Таблица является наиболее удобным и практичным способом представления закона для дискретных величин с небольшим количеством значений. Она состоит из двух строк, где первая строка содержит все возможные значения, упорядоченные по возрастанию, а вторая строка содержит соответствующие им вероятности.
Закон распределения случайной величины \(X\) будет иметь следующий вид, если значения принимаются с определёнными вероятностями .
Значения \(X\) | ||||
Вероятность |
Всегда выполняется важное свойство законов распределения дискретных случайных величин — сумма всех вероятностей в любом законе распределения всегда равна единице. Это свойство сохраняется в любом законе распределения, несмотря на то что законы распределения дискретных случайных величин могут быть самые разные.
.
Если все возможные значения случайной величины не были учтены в таблице, или возникла ошибка при вычислении вероятности, это означает, что условие не было выполнено.
Закон распределения может быть задан:
1) аналитически (с помощью формулы);
2) графически;
3) с помощью биномиального распределения;
4) с помощью распределения Пуассона;
5) с помощью функции распределения.
Разберём пример, связанный с распределением дискретной случайной величины, равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого успеха.
Вспомним, что есть формула, позволяющая вычислить вероятности испытаний до первого успеха: ,
где \(k\) — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события \(A\),
\(p\) — вероятность успеха,
\(q\) — вероятность неудачи.
Пример:
на зачёте студент тянет билеты до того момента, пока не вытянет билет, ответ на который он знает. Вероятность правильного ответа составляет \(p=\) 0,7, вероятность неправильного — \(q=\) 0,3. Случайная величина \(X\) равна числу билетов, которые он вытянет, пока, наконец, сдаст зачёт. Составь закон распределения случайной величины \(X\) и с его помощью найди вероятность того, что количество вопросов, которое будет задано, равно \(2\).
Решение.
Составим закон распределения случайной величины \(X\):
, где \(n\) — количество вытянутых билетов.
Вероятность того, что вытянутых билетов будет \(2\):
\(= 0,21\).
Решение.
Составим закон распределения случайной величины \(X\):
, где \(n\) — количество вытянутых билетов.
Вероятность того, что вытянутых билетов будет \(2\):
\(= 0,21\).