Правило умножения вероятностей — урок. Вероятность и статистика, 10 класс.

По формуле условной вероятности:

P (A| B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Возьмём из представленной формулы числитель, а именно

P (A \cap B)

, и сможем вывести правило умножения вероятностей, которым будем пользоваться, когда речь пойдёт о пересечении произвольных событий \(A\) и \(B\).

Правило умножения вероятностей:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B |A)

События \(A\) и \(B\), как ты, скорее всего, догадался, мы можем поменять местами:

P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A |B)

Пример:

В ящике у Макара \(10\) фломастеров, половина из них не пишут. Мальчик достаёт из ящика подряд \(2\) фломастера. Определи, с какой вероятностью оба фломастера не пишут.

Рассматриваем \(2\) события:

\(A=\) {Первый фломастер не пишет};

\(B=\) {Второй фломастер не пишет}.

Находим вероятности каждого события:

P (A) = \frac{5}{10}

;

P (B |A) = \frac{4}{9}

Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B |A) = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = 0,22 .

Вероятность, с которой оба фломастера не будут писать, составит \(0,22\).

Обрати внимание!

Правило умножения можно использовать и для большего количества вероятностей:

P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B |A) \cdot P (C |A \cap B) .

Пример:

В ящике у Макара по-прежнему \(10\) фломастеров, \(5\) из которых не пишут. Мальчик решил проверить наугад \(3\) фломастера и достал их из ящика один за другим без возврата. Какова вероятность, что все три вынутых фломастера окажутся непишущими?

Решение

Рассматриваем события:
\(A=\) {Первый фломастер не пишет},
\(B=\) {Второй фломастер не пишет},
\(C=\) {Третий фломастер не пишет}.

Нас интересует вероятность \(P(A∩B∩C)\).

Применим обобщённое правило умножения, вероятность, что первый фломастер не пишет.

Исходно \(5\) непишущих из \(10\).

P (A) = \frac{5}{10}

Условная вероятность, что второй не пишет, при условии, что первый уже не пишет:
после события \(A\) в ящике осталось \(9\) фломастеров, из которых \(4\) не пишут (один уже вынули).

P (B |A) = \frac{4}{9}

Условная вероятность, что третий не пишет, при условии, что первые два уже не пишут: после событий \(A\) и \(B\) в ящике осталось \(8\) фломастеров, из которых только \(3\) не пишут (два непишущих уже вынуты).

P (C |A \cap B) = \frac{3}{8}

Применяем правило умножения для трёх событий.

P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B |A) \cdot P (C |A \cap B) .

P (A \cap B \cap C) = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} = \frac{1}{12} \approx 0,083 .

Вероятность, что все три вынутых фломастера окажутся непишущими, будет равна \(0,083\).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

3. Правило умножения вероятностей

Теория: