Элементы конуса — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Цилиндр, конус, шар и их сечения

3. Элементы конуса

Теория

Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Треугольник \(POA\) вращается вокруг стороны \(PO\).

\(PO\) — ось конуса и высота конуса.

\(P\) — вершина конуса.

\(PA\) — образующая конуса.

Круг с центром \(O\) — основание конуса.

\(AO\) — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось \(PO\) конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

\(APB\) — осевое сечение конуса.

∡ PAO = ∡ PBO

— углы между образующими и основанием конуса.

Для конуса построим развёртку боковой поверхности. Это круговой сектор.

Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса

2 π R

, угол развёртки боковой поверхности

α

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Образующая конуса \(l\) является радиусом сектора.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом \(l\):

S_{бок .} = π l^{2} \cdot \frac{α}{360 °}

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом \(l\), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом \(R\).

Сравним выражения длины дуги и выразим

α

через \(R\):

\begin{array}{l} 2 π l \cdot \frac{α}{360 °} = 2 π R; \\ α = \frac{2 π R \cdot 360 °}{2 π l} = \frac{R \cdot 360 °}{l} . \end{array}

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

S_{бок .} = \frac{π l^{2} \cdot R \cdot 360 °}{360 ° \cdot l} = π Rl

Усечённый конус

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

O O_{1}

— ось конуса и высота конуса.

{AA}_{1}

— образующая конуса.

Круги с центрами \(O\) и

O_{1}

— основания усечённого конуса.

\(AO\) и

A_{1} O_{1}

— радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось

O O_{1}

конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

A A_{1} B_{1} B

— осевое сечение конуса.

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:

\begin{array}{l} S_{бок .} = π R \cdot PA - π r \cdot P A_{1} = π R \cdot (P A_{1} + {AA}_{1}) - π r \cdot P A_{1} = \\ = π R \cdot P A_{1} + π R \cdot A A_{1} - π r \cdot P A_{1} = \\ = π R \cdot l + (π R - π r) \cdot P A_{1} . \end{array}

Так как

Δ PAO \sim Δ P A_{1} O_{1}

, то стороны их пропорциональны:

\begin{array}{l} \frac{PA}{P A_{1}} = \frac{R}{r}; \\ \frac{l + P A_{1}}{P A_{1}} = \frac{R}{r}; \\ r \cdot (l + P A_{1}) = R \cdot P A_{1}; \\ rl = R \cdot P A_{1} - r \cdot P A_{1}; \\ P A_{1} \cdot (R - r) = rl; \\ P A_{1} = \frac{rl}{R - r} . \end{array}

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:

\begin{array}{l} S_{бок .} = π Rl + π \cdot P A_{1} \cdot (R - r) = π Rl + π \cdot \frac{rl}{R - r} \cdot (R - r); \\ S_{бок .} = π Rl + π rl = π l \cdot (R + r) . \end{array}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория