Функция y = tgx и её свойства — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

5. Функция y = tgx и её свойства

Теория

Функция

y = tgx

определена при

x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ

, является нечётной и периодической с периодом

π

Используя эти свойства, строим её график на

[0; \frac{π}{2})

и затем выполняем соответствующие преобразования.

Выберем для построения контрольные точки, через которые проведём плавную кривую на координатной плоскости:

\begin{array}{l} tg0 = 0; \\ tg \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \\ tg \frac{π}{4} = 1; \\ tg \frac{π}{3} = \sqrt{3} . \end{array}

Теперь для промежутка

(- \frac{π}{2}; 0]

построим симметричные относительно начала координат значения, получим график на промежутке

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Значения функции будут повторяться с периодом

π

, поэтому копируем построенную ветвь графика для каждого промежутка области определения.

График функции \(y=tgx\) называют тангенсоидой.

Главной ветвью графика функции \(y=tgx\) обычно называют ветвь, заключённую в полосе

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Свойства функции

y = tgx

1. Область определения — множество всех действительных чисел

x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ

2. Множество значений — множество

ℝ

всех действительных чисел.

3. Функция

y = tgx

периодическая с периодом

π

4. Функция

y = tgx

нечётная.

5. Функция

y = tgx

принимает:

- значение \(0\) при

x = π n, n \in ℤ;

- положительные значения на интервалах

(π n; \frac{π}{2} + π n), n \in ℤ;

- отрицательные значения на интервалах

(- \frac{π}{2} + π n; π n), n \in ℤ .

6. Функция

y = tgx

возрастает на интервалах

(- \frac{π}{2} + π n; \frac{π}{2} + π n), n \in ℤ .