Упрощение рациональных выражений — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Процентные вычисления. Уравнения и неравенства

9. Упрощение рациональных выражений

Теория

Ранее рассматривались различные действия c алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень — когда выполнялось всего одно действие.

Теперь рассмотрим упрощение более сложных рациональных выражений, т. е. выражений, в которых с алгебраическими дробями нужно выполнить несколько различных действий.

\frac{a + 1}{7 c} \cdot \frac{7 + 6 c}{x} : \frac{3 (a + 1)}{x^{2}}

— умножение и деление дробей;

\frac{a^{2} - y^{2}}{c^{2} - d^{2}} \cdot \frac{c - d}{a - y} - \frac{y}{d + c}

— умножение и вычитание дробей;

{(\frac{m + 1}{m})}^{2} + \frac{3 - m + 15}{m (m + 2)}

— возведение в степень и сложение дробей.

Чтобы правильно упростить такие выражения, необходимо:

соблюдать порядок действий;
соблюдать правила выполнения этих действий;
помнить, что все действия осуществляются только для тех значений переменных, при которых дробь имеет смысл.

Пример:

выполни действия

\frac{x - y}{6 y} : \frac{x^{2} - y^{2}}{y} \cdot \frac{x^{2} + 2 xy + y^{2}}{x}

Решение: данное задание можно выполнить двумя способами.

Первый способ

Упрощение выполняется в два действия — сначала деление, а потом умножение, числители и знаменатели раскладываются на множители в каждом действии.

\frac{x - y}{6 y} : \frac{x^{2} - y^{2}}{y} = \frac{x - y}{6 y} \cdot \frac{y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{(x - y) \cdot y}{6 y \cdot (x + y) (x - y)} = \frac{1}{6 (x + y)}

;

\frac{1}{6 (x + y)} \cdot \frac{x^{2} + 2 xy + y^{2}}{x} = \frac{1}{6 (x + y)} \cdot \frac{{(x + y)}^{2}}{x} = \frac{1 \cdot \overset{(x + y)}{{(x + y)}^{2}}}{6 (x + y) \cdot x} = \frac{x + y}{\underline{\underline{6 x}}}

Второй способ

Деление и умножение выполняется одновременно, числители и знаменатели всех дробей записываются одной дробью, затем раскладываются на множители.

\frac{x - y}{6 y} : \frac{x^{2} - y^{2}}{y} \cdot \frac{x^{2} + 2 xy + y^{2}}{x} = \frac{(x - y) \cdot y \cdot {(x + y)}^{2}}{6 y \cdot (x^{2} - y^{2}) \cdot x} = \frac{(x - y) \cdot y \cdot \overset{(x + y)}{{(x + y)}^{2}}}{6 y \cdot (x - y) \cdot (x + y) \cdot x} = \frac{x + y}{\underline{\underline{6 x}}}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория