Использование интеграла при вычислении площади — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона – Лейбница

6. Использование интеграла при вычислении площади

Теория

Допустим, что на плоскости \(Oxy\) дана фигура, которую ограничивает отрезок \([a,b]\), принадлежащий прямой \(Ox\), прямые \(x=a\), \(x=b\) и график неотрицательной функции \(f(x)\) в отрезке \([a,b]\).

Рис. \(1\). Криволинейная трапеция

Площадь криволинейной трапеции можно найти по формуле

S = F (b) - F (a)

, где \(F(x)\) является первообразной функции \(f(x)\) (т. е.

F' (x) = f (x)

).

Пример:

найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

y = \ln x

и осью \(x\) на промежутке \([1,2]\).

Сначала находится первообразная данной функции (используется метод интегрирования по частям):

\begin{array}{l} \int \ln x dx = [\begin{array}{l} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = 1 & v = x \end{array}] = \int u dv = uv - \int v du = \\ = \ln x \cdot x - \int (x \cdot \frac{1}{x}) dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C . \end{array}

Значит, первообразная функция

F (x) = x \ln x - x

, а значение площади

S = F (2) - F (1) = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 1

.

Источники:

Рис. 1. Криволинейная трапеция, © ЯКласс.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание