Показательные неравенства — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Показательные неравенства — неравенства вида

a^{f (x)} > a^{g (x)}

, где

a > 0

a \neq 1

, и сводящиеся к такому виду неравенства.

Для решения неравенств применяются свойства возрастания или убывания показательной функции.

Показательная функция

y = a^{x}

возрастает при

a > 1

(чем больше значение аргумента, тем больше значение функции).

Показательная функция

y = a^{x}

убывает при

0 < a < 1

(чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции).

Если

a > 1

, то неравенства

a^{f (x)} > a^{g (x)}

f (x) > g (x)

равносильны.

Пример:

решить неравенства:

2^{2 x - 4} > 64

Имеем

2^{2 x - 4} > 2^{6}

Это неравенство равносильно неравенству того же смысла

2 x - 4 > 6

, т. к. основание равно \(2>1\) (

a > 1

откуда находим

x > 5

Если

0 < a < 1

, то неравенствао

a^{f (x)} > a^{g (x)}

f (x) < g (x)

равносильны.

Пример:

реши неравенство:

{(\frac{1}{5})}^{4 x + 1,5} < \frac{1}{\sqrt{5}}

Заметим, что

\frac{1}{\sqrt{5}} = {(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{2}}

, запишем неравенство в виде:

{(\frac{1}{5})}^{4 x + 1,5} < {(\frac{1}{5})}^{0,5}

Основание неравенства меньше единицы:

0 < \frac{1}{5} < 1 .

Поэтому показатель левой части больше показателя правой части неравенства:

4 x + 1,5 > 0,5

получаем решение

x > - 0, 25

7. Показательные неравенства