Метод введения новой переменной — урок. Математика (СПО), Программа 232 ч..

Показательная функция, ее свойства. Показательные уравнения и неравенства

5. Метод введения новой переменной

Теория

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем.

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Рассмотрим способ подстановки на примерах.

Пример:

решить уравнение:

9^{x} - 4 \cdot 3^{x} - 45 = 0

Заменой

3^{x} = t

данное уравнение сводится к квадратному уравнению

t^{2} - 4 t - 45 = 0

Решая это уравнение, находим его корни:

t_{1} = 9, t_{2} = - 5

, откуда

3^{x} = 9, 3^{x} = - 5

Уравнение

3^{x} = 9

имеет корень

x = 2

, а уравнение

3^{x} = - 5

не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ:

x = 2 .

Пример:

решить уравнение:

9^{x} + 3^{x + 1} - 18 = 0

Заметив, что $9^{x} = {(3^{2})}^{x} = 3^{2 x} = {(3^{x})}^{2}$ , а $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ ,

перепишем заданное уравнение в виде ${(3^{x})}^{2} + 3 \cdot 3^{x} - 18 = 0$ .

Введём новую переменную $y = 3^{x}$ ; получим квадратное уравнение $y^{2} + 3y - 18 = 0$ .

Его корни: $y_{1} = 3, y_{2} = - 6$ .

Сделаем обратную замену $y = 3^{x}$ , получаем два уравнения: $3^{x} = 3; 3^{x} = - 6$ .

Первое уравнение имеет один корень $x = 1$ , а второе равенство невозможно, так как $3^{x} > 0$ .

Ответ: $1$ .

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория