Равносильность уравнений . Общие методы решения — методическая рекомендация. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Методическое описание:

Теория

Номер	Название	Описание
1.	Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений	Даётся понятие равносильных уравнений, шесть теорем о равносильности, следствия из них, которые применяются при решении уравнений.
2.	Преобразование уравнения в уравнение-следствие	Рассказывается, что при некоторых преобразованиях уравнение переходит в уравнение-следствие, при этом может как появиться посторонний корень, так и потеряться.
3.	Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x) = g(x)	Описывается первый метод решения уравнений, когда уравнение вида h(f(x)) = h(g(x)) заменяется на уравнение f(x) = g(x).
4.	Пример для показательного уравнения	Решение показательных уравнений.
5.	Решение уравнения методом разложения на множители	Решение уравнения методом разложения на множители, пример.
6.	Решение уравнения методом введения новой переменной	Биквадратные уравнения, метод введения новой переменной.
7.	Функционально-графический метод	Описывается четвёртый метод решения уравнений — функционально-графический. Показываются примеры применения этого метода.

Задания

Номер	Название	Вид	Сложность	Баллы	Описание
1.	Выбор равносильного уравнения	1 вид - рецептивный	лёгкое	1 Б.	Используя шесть теорем о равносильности уравнений, нужно сделать вывод о том, какому уравнению равносильно данное уравнение.
2.	Корни из ОДЗ	1 вид - рецептивный	лёгкое	1 Б.	Проверяется понимание роли ОДЗ квадратного корня в уравнении.
3.	Равносильны ли уравнения?	1 вид - рецептивный	лёгкое	1 Б.	Необходимо ответить на вопрос «Равносильны ли уравнения?»
4.	Проверка корней	1 вид - рецептивный	лёгкое	1 Б.	Предлагается в результате проверки выяснить посторонний корень уравнения.
5.	Уравнение третьей степени, произведение равно 0	2 вид - интерпретация	лёгкое	2 Б.	Решение уравнения третьей степени (равенство произведения 0).
6.	Уравнение с модулем вида \|x\| = a	2 вид - интерпретация	лёгкое	1 Б.	Нахождение произведения корней уравнения с модулем вида \|x\| = a.
7.	Замена уравнения равносильным уравнением	1 вид - рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определяется равносильность уравнений в результате перехода от уравнения вида h(f(x)) = h(g(x)) к уравнению f(x) = g(x).
8.	Уравнение имеет корни?	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Решая и анализируя решение уравнения, можно сделать вывод о существовании корней. И определить корни, если они существуют.
9.	Решение иррационального уравнения (в правой части — выражение)	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	В ходе решения иррационального уравнения, в правой части которого дано выражение с переменной, получается квадратное уравнение. Решая и проверяя корни, следует сделать вывод об их принадлежности к решению уравнения.
10.	Решение логарифмического уравнения	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	В ходе решения логарифмического уравнения получается квадратное уравнение. В ходе решения и проверки корней делается вывод об их принадлежности к решению уравнения.
11.	Уравнение третьей степени, способ группировки	2 вид - интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения третьей степени разложением на множители способом группировки.
12.	Биквадратное уравнение	2 вид - интерпретация	среднее	4 Б.	Решение биквадратного уравнения способом введения новой переменной.
13.	Уравнение пятой степени	2 вид - интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения пятой степени, использование кубического корня (равенство произведения 0).
14.	Уравнение n-ой степени	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения n-ой степени.
15.	Иррациональное уравнение (квадратное)	2 вид - интерпретация	среднее	4 Б.	Решение иррационального уравнения (формула квадрата суммы или разности).
16.	Вопросы по равенству с модулем	1 вид - рецептивный	среднее	1 Б.	Теоретические вопросы по равенству с модулем, используется определение модуля.
17.	Уравнение с модулем вида \|f(x)\| = a	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения с модулем вида \|f(x)\| = a.
18.	Уравнение с модулем вида \|f(x)\| = \|g(x)\|	2 вид - интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения с модулем вида \|f(x)\| = \|g(x)\|.
19.	Уравнение с модулем, подобные модули	2 вид - интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения с модулем, приведение подобных модулей.
20.	Тригонометрическое уравнение, метод разложения на множители	2 вид - интерпретация	среднее	4 Б.	Решение тригонометрического уравнения методом разложения на множители.
21.	Уравнение шестой степени, метод введения новой переменной	2 вид - интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения шестой степени методом введения новой переменной.
22.	Иррациональное уравнение, метод введения новой переменной	2 вид - интерпретация	среднее	4 Б.	Решение иррационального уравнения методом введения новой переменной.
23.	Иррациональное уравнение, метод введения новой переменной, обратные величины	2 вид - интерпретация	среднее	3 Б.	Решение иррационального уравнения методом введения новой переменной, обратные величины.
24.	Логарифмическое уравнение, метод введения новой переменной	2 вид - интерпретация	среднее	4 Б.	Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной.
25.	Решение уравнения с заменой его равносильным уравнением	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Для решения уравнения применяется метод замены его равносильным уравнением, т. е. от уравнения вида h(f(x)) = h(g(x)) переходим к уравнению f(x) = g(x).
26.	Реши уравнение графически	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Предлагается решить уравнение, используя функционально-графический метод.
27.	Использование свойств функции	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Проверяется умение решать уравнения, используя свойства функций.
28.	Замена переменной	2 вид - интерпретация	среднее	2 Б.	Проверяется умение решать уравнение заменой переменной.
29.	Равенство произведения нулю (использование формул тригонометрии)	3 вид - анализ	сложное	4 Б.	Предлагается решить уравнение, записанное в виде произведения тригонометрического и иррационального выражений, и это произведение равно 0. При решении используются формулы тригонометрии. Полученные в ходе решения корни проверяются на соответствие ОДЗ.
30.	Решение логарифмического уравнения (есть неизвестное в основании)	3 вид - анализ	сложное	4 Б.	Предлагается решить логарифмическое уравнение с неизвестным как под знаком логарифма, так и с неизвестным в основании. Выбрать затем корень, который подходит по ОДЗ.
31.	Уравнение третьей степени, разложение на множители	2 вид - интерпретация	сложное	4 Б.	Решение уравнения третьей степени методом разложения на множители.
32.	Уравнение высшей степени	2 вид - интерпретация	сложное	3 Б.	Решение уравнения высшей степени методом разложения на множители.
33.	Иррациональное уравнение (свойство модуля)	2 вид - интерпретация	сложное	4 Б.	Решение иррационального уравнения, используется свойство модуля.
34.	Уравнение с двумя модулями	2 вид - интерпретация	сложное	3 Б.	Решение уравнения с двумя модулями.
35.	Квадратное уравнение с модулем	2 вид - интерпретация	сложное	3 Б.	Решение квадратного уравнения с модулем.
36.	Произведение равно 0	3 вид - анализ	сложное	3 Б.	Предлагается решить уравнение, записанное в виде произведения множителей. Полученные в ходе решения корни проверяются на соответствие ОДЗ.

Тесты

Номер	Название	Рекомендованное время:	Сложность	Баллы	Описание
1.	Тренировка по теме Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений	00:10:00	лёгкое	3 Б.	Предлагается определить равносильность уравнений, используя шесть теорем о равносильности уравнений. Также предлагается в результате проверки выяснить посторонний корень уравнения.
2.	Тренировка по теме Общие методы решения уравнений	00:10:00	лёгкое	4 Б.	Предлагается решить уравнение третьей степени (равенство произведения 0), найти произведение корней уравнения с модулем вида \|x\| = a, определить равносильность перехода от уравнения вида h(f(x)) = h(g(x)) к уравнению f(x) = g(x).

Вернуться в тему